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浅谈线性代数中的哲学思想

来源:论文联盟  作者:李晓红 [字体: ]

浅谈线性代数中的哲学思想

线性代数作为工科数学的一门主要基础课,不仅是后续课程和专业学习的需要,更是培养学生数学素质,提高创新能力的需要。为了提高教学效果,不仅要注重知识层面上的学识教育,更要注重文化层面上的素质教育,要善于把数学课程放在更广阔的文化背景中进行教学,这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。下面结合自己的教学实践,尝试从哲学的角度来探讨一下线性代数的教学,以期对大家有所帮助。
  一、从“形变质不变”看事物之变化
  在线性代数中,所研究的事物常常会发生各种形式上的改变,但本质属性未改变,所谓“万变不离其宗”,在此不妨称之为“形变质不变”。例如,行列式的恒等变换;方程组的同解变换;矩阵的初等变换;向量组的等价变换;二次型的标准变换等。这么多的变换,很容易引起学生混淆,特别是对变化的目的与方向一筹莫展,从而失去学习的兴趣和信心,因此在教学中需要注意以下几个方面。
  1.要充分揭示变与不变的真正内涵。引导学生认识事物,不但要观其表象,更要明其内里,真正明白形式改变背后隐藏的真谛。例如,行列式进行恒等变形,其值不变;矩阵进行初等变换,其秩不变;向量组进行初等变换,其秩以及线性表示关系不变;二次型进行各种标准变换,但其正定性、负定性等保持不变。以上种种“变与不变”,相辅相成,是“形变质不变”,是形式和内容的和谐统一。
  2.要积极引导学生为解决问题,在形式上寻求最佳改变方案。教学中经常用到化归的思想[1],要化繁为简,化难为易,化未知为已知。由于形式是为内容服务的,所以以“不变”为根基,为纽带;以“变”为契机,为突破;才能寻找到解决问题的最佳途径。例如为求行列式的值,常将行列式化成三角形行列式;为求矩阵的秩,常把矩阵化成行阶梯形;为求线性方程组的解和向量组的线性表示关系,常将对应矩阵化成行最简形;为判断二次型的正定性,常将二次型化成标准型等。
  3.要反复强调矩阵初等变换本文由论文联盟http://www.LWlM.COM收集整理的核心地位。在“形变质不变”中,矩阵的初等变换堪称经典。因为矩阵的形变不仅能解决自身问题,如求矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵方程的解以及矩阵的特征值与特征向量等,而且还能解决线性代数中的其他问题。例如求向量组的秩及线性表示、线性方程组的通解、二次型的标准型等。可以说矩阵的初等变换如同一条多变的链条,充满了多样性和奇异性,将线性代数的整个内容都贯穿了起来,是解决线性代数问题的关键方法。
  二、从“量变引质变”看事物之差异
  辩证唯物主义认为,事物具有质和量两个方面,是质和量的统一体。而数学研究就是从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律,特别是质的差异和从量变到质变的飞跃过程[3]。在线性代数中,许多研究对象都有与其密切相关的量,当这些量发生改变时,就能引起相应的质的改变,特别是当其改变到某种程度,即当量变达到某一值时,就会引起质的本质改变,会产生质的飞跃,可称之为“量变引质变”。
  例如,n阶矩阵A有对应的量R(A)和A,当R(A)<n即a=0时,a不可逆;当r(a)=n即a≠0时,a可逆。线性方程组ax=b有对应的量r(a,b)和r(a),当r(a,b)=r(a)=n时,有唯一解;当r(a,b)=r(a)<n时,有无穷多解;当r(a,b)≠r(a)时,无解。又如m维的n个向量组成的向量组a,当其秩r(a)<n时,向量组必线性相关;当r(a)=n时,向量组必线性无关。再如n阶矩阵a,当其线性无关的特征向量的个数等于n时,才能相似对角化。 <br="">  以上种种,都说明量变引起了质变。因此,在教学中,不仅要引导学生去发现能反映事物质的量,而且还要帮助学生理解这个量为何影响质,并且对这个量变引起質变的临界值,要重点掌握。在实际应用时,常常会遇到量变取决于某些未知参数,因此就需要根据临界值,先对未知参数进行讨论,然后再具体判别事物的质,使得问题得以顺利展开和讨论。
  三、从“对立统一”看事物之联系
  由于线性代数中的概念、性质以及定理较多,许多内容相似且有关联,所以学生特别容易混淆。而且学习时靠死记硬背,应用时张冠李戴,总犯一些不该犯的错误。为了使学生熟练掌握这些内容,明晰其区别与联系,我们不妨把事物一分为二,从“对立统一”的角度看问题、分析问题,那么线性代数的教学内容就变得有章可循,有法可依,就能由此及彼,由浅入深,逐步展开成线性代数枝繁叶茂的知识体系。例如,从以下几个方面。
  1.特殊与一般。按照由特殊到一般再由一般到特殊的认识规律,线性代数中的很多概念、定理和公式都是从客观现实中,经过数学的抽象、推理、归纳等产生的[2]。例如,二、三阶行列式与n阶行列式;数的运算与矩阵的运算;线性空间的一般基与标准基;齐次线性方程组与非齐次线性方程组;特解与通解;一般二次型与标准二次型等。特别是为了解决问题,要把与之相关的矩阵由一般形式变化成各种特殊形式,如等价标准形,行阶梯形,行最简形,对角形等。
  2.相关与无关。向量组的线性相关性是线性代数的重要理论,任意一个向量组,要么线性相关,要么线性无关,二者必居其一,都是线性表示的具体体现。相关向量组中至少有一个向量能被其余向量线性表示,无关向量中任一向量都不能被其余向量线性表示。相关向量组去掉多余的向量,则线性无关;无关向量组添加能被它线性表示的向量,则线性相关。可见,相关变无关是量的精简,无关变相关是量的扩容,二者达到和谐完美的统一。
  3.有限与无限。有限与无限的辩证统一,主要体现在有限能生成无限,无限又包含有限,它们有质的差异,但在一定条件下也可以互相转换[3]。线性代数中由基础解系生成通解的方法,就是由有限生成无限的一种特殊方法,不仅实现了由量变到质变的飞跃,而且实现了定性描述向定量描述的重大转化,更利于分析问题和解决问题,对于提高学生的创新思维能力也有重要意义。
  四、从“否定之否定”看事物之发展
  否定之否定规律是自然界、人类社会和思维发展的普遍规律,事物通过否定之否定扬弃原来的概念,获得更为丰富的内容,从而获得新的发展起点[3]。在线性代数中,有一些重要定义看似简单,但要依据这个定义来真正计算时,才发现比较困难,计算量往往非常大。这就需要我们在否定这种计算方法的基础上,重新由定义出发,去推断出尽可能多的结论,再从这些结论中寻求合适的方法。
  另外,在求矩阵的秩和求向量组的最大无关组时,如果直接按照定义来做,只能利用筛选法,计算量不仅大而且非常烦琐。因此在否定的基础上,根据“初等变换不改变矩阵的秩”、“行(列)初等变换不改变矩阵列(行)向量组的线性相关性”这两个重要定理,利用矩阵的初等变换,使得这两个问题迎刃而解,方法既简洁又简单,充分体现了数学转化思想的重要性,以及数学的奇异美、形式美。所以说,否定之否定,就是完善与发展、就是进步与提高。同时也要引导学生,在学习与生活中,应该直面自身的缺点与不足,只有不断进行自我否定,才能努力改进,早日到达成功的彼岸。
  总之,线性代数中的哲学思想,像一盏明灯,使我们能理清纷乱的思绪,看清知识的脉络和内涵。并且能够体验到线性代数的抽象美、逻辑美、奇异美、形式美,使学生更有信心和兴趣去学好这门课。这不仅为他们的后续课程和专业学习打好了基础,而且培养了数学素质,提高了辩证思维能力和应用能力。

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