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浅谈数学的设计

来源:  作者:未知 [字体: ]
作者:丁尔升
高中数学  

数学课程问题一直是数学教学改革的中心问题,也是数学教育科学研究的中心问题之一。从1958年以来笔者参加了多次数学课程设计、教材编写、实验研究,从三十余年的实践中形成了关于数学课程发展规律的一些认识。影响、制约、决定数学课程发展的因素主要是三个方面:社会政治经济方面的需求,数学发展和教育发展的需求。数学课程的发展决定于这三个方面需求的和谐统一,本文基于《中学数学实验教材》(以下简称《实验教材》)的实验着重探讨这三者如何和谐统一推动数学课程的发展。 
  一、我国社会发展对数学课程的要求 
  促进数学课程发展的众多动力中,没有比社会发展这一动力更大的了,社会发展的需要主要包括:社会生产力发展的需要,经济和科学技术发展的需要和政治方面的要求。 
  我国社会发展对数学课程提出了以下要求。 
  (一)目的性 
  教育必须为社会主义经济建服务。这就要求数学课程要有明确的目的性,即要为社会主义经济建设培养各级人才奠定基础,为提高广大劳动者的素质做出贡献。当今社会正由工业社会向信息社会过渡,在信息社会里多数人将从事信息管理和生产工作;社会财富增加要更多地依靠知识;知识更新、技术进步周期和人的职业寿命都在日益缩短,要适应日新月异的社会,必须把劳动者的素质、才能提到极重要的位置,而且要使他们具备终身学习的能力。 
  (二)实用性 
  数学课程的内容应具有应用的广泛性,可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科中的大量实际问题;运用于训练人的思维。应该精选现代社会生和生活中广泛应用的数学知识作为数学课程的内容。另外,还要考虑其他学科对数学的要求。数学课程还应满足现代科学技术发展的需要,加进其中广泛应用的数学知识,如计算机初步知识、统计初步知识离散概率空间、二项分布等概率初步知识。 
  数学不仅是解决实际问题的工具,而且也广泛用来训练人的思维,培养有数学素养的社会成员,要使学生懂得数学的价值,对自己的数学能力有信心,有解决数学问题的能力,学会数学交流,学会数学思想方法。 
  (三)思想性和教育性 
  我们培养的人应该有理想、有道德、有文化、有纪律、热爱社会主义祖国和社会主义事业,具有国家兴旺发达而艰苦奋斗的精神;应当不断追求新知、实事求是、独立思考、勇于创新,具有辩证唯物主义观点。这就要求数学课程适当介绍中国数学史,以激发学生的民族自豪感。用辩证唯物主义观点来阐述课程内容,有意识地体现数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点。体现运动、变化、相互联系的观点。 
  《实验教材》用“精简实用”的选材标准来满足这些要求。 
  二、数学的发展对数学课程的要求 
(一)中学数学课程应当是代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体 
数学研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。基础数学的对象是数、空间、函数,相应的是代数、几何、分析等学科,它们是各成体系但又密切联系的。现代数学中出现了许多综合性数学分支,都是在它们的基础上产生并发展起来的,研究的思想方法也是它们的思想方法的综合运用。代数、几何、分析在相邻学科和解决各种实际问题中都有广泛应用,所以中学数学课程应当是它们恰当配合的整体。曾经出现过的把中学课程代数结构化(如“新数”)的设计方案。“以函数为纲”使中学数学课程分析化的设计方案都不成功,正是没有满足这一要求。 
(二)适当增加应用数学的内容 
应用数学近年来蓬勃发展,出现了许多新的分支和领域,应用范围也在日益扩大,这种形势也要求在中学数学课程中有所反映。从“新数运动”开始,各国数学课程内容中陆续增加了概率统计和计算机的初步知识。这一方面说明概率统计和计算机知识在社会生产和社会生活中的广泛应用,另一方面也说明数学的发展扩大了它的基础,对中学数学课程提出了新的要求。 
由于计算机科学研究的需要,“离散数学”越来越显得重要。因此,中学数学课程中应当增加离散数学的比重。 
(三)系统性 
基础数学,包括代数、几何、分析到19世纪末都相继奠定了严格的逻辑基础。到本世纪30年代法国布尔巴基学派用公理化方法,使整个数学结构化。任何一个数学系统都可以归结为代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构的复合。经过用公理化方法的整理,使数学成为一个逻辑严密、系统的整体结构。因此,作为符合数学知识结构要求的中学数学课程就必须具有一定的系统性和逻辑严密性。 
(四)突出数学思想和数学方法 
现代数学进行着不同领域的思想、方法的相互渗透。许多曾经认为没有任何共同之处的数学分支,现在已建立在共同的统一的思想基础上了。 
数学思想和方法把数学科学联结成一个统一的有结构的整体。所以,我们应该体现突出数学思想和数学方法。 
《实验教材》以“反璞归真”的指导思想来满足数学学科发展的要求。 
三、教育、心理学发展对数学课程的要求 
教育、心理学的发展,对教学规律和学生的心理规律有了更深入的认识。数学课程的设计要符合学生认知发展的规律。认知发展,要经历多种水平,多种阶段。认知的发展呈现一定的规律。基于这些规律,要求数学课程具有: 
(一)可接受性 
教学内容、方法都要适合学生的认知发展水平。获得新的数学知识的过程,主要依赖于数学认知结构中原有的适当概念,通过新旧知识的相互作用,使新旧意义同化,从而形成更为高度同化的数学认知结构的过程,它包括输入、同化、操作三个阶段。因此,作为数学课程内容要同学生已有的数学基础有密切联系。其抽象性与概括性不能过低或过高,要处于同级发展水平。这样才能使数学课程内容被学生理解,被他们接受,才能产生新旧知识有意义的同化作用,改造和分化出新的数学认知结构。 
(二)直观性 
皮亚杰的认知发展阶段的理论认为,中学生的认知发展水平已由具体运算进入了抽象运算阶段,但是即使他们在整体上认知水平已经达到了抽象运算的水平,在每个新数学概念的学习过程中仍然要经历从具体到抽象的转化,他们在学习新的数学概念时仍采用具体或直观的方式去探索新概念。因此,数学课程应向学生提供丰富的直观背景材料。不拘泥于抽象的形式,着重于向学生提示抽象概念的来龙去脉和其本质。也就是要“反璞归真”。 
(三)启发性 
苏联心理学家维果斯基认为儿童心理机能“最近发展区”的水平。表现为发展程序尚未成熟,正处于形成状态。儿童还不能独立地解决一定的靠智力解决的任务,但只要有一定的帮助和自己的努力,就有可能完成任务。数学课程的启发性就在于激发、诱导那些正待成熟的心理机能的发展,不断地使“最近发展区”的矛盾得到转化,而进入更高一级的数学认知水平。 
要使数学课程真正具有启发性,需要克服两种偏向:第一,内容过于简单,缺乏思考余地。没有挑战性,不能激发学生思维,甚至不能满足学生学习愿望。第二,内容过于复杂、抽象。超过了学生数学认知结构中“最近发展区”的水平,学生将会由于不能理解它,产生畏惧心理,最后厌恶学习数学。 
布鲁纳曾指出,向成长中的儿童提出难题,激励他们向下一阶段发展,这样的努力是值得的。在这种思想的指导下,他的数学课程采用螺旋式上升的原则,这是课程内容启发性的体现。 
《实验教材》用“顺理成章、深入浅出”的指导思想来体现以上诸要求。 
四、三方面需求的和谐统一 
上面分别考查了三个方面对数学课程提出的要求,这些要求有时互为前题,互相补充,而有时却是彼此矛盾的。这导致了数学课程设计的复杂性和艰巨性。如何才能使这三方面的要求和谐统一呢?从《实验教材》11年的实验中形成了16字指导数学课程设计的思想,比较恰当的统一了以上三方面的需求。这16字的指导思想是“精简实用、反璞归真、顺理成章、深入浅出”。 
“精简实用”是个基本的指导思想,它恰当地表现了理论和实际的正确关系。由实际到理论,就是由繁精简,把实际中多样的事物、现象,经过分析、综合,归纳出简单而又具有普遍性的道理,这就是理论。而只有精而简的理论才能用来“以简驭繁”。所以“精简实用”在科学上的意义就是要寻求真正具有普遍性、简明扼要的理论。要做到精简,必须抓住重点。教材中普遍实用的最基础部分,那些具有普遍意义的通性、通法就是重点。中学数学课程内容应是代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体,这样做既可满足社会的需要、数学知识结构的要求,又可满足可接受性的要求。其中普遍实用的最基础部分是代数中的数系,最普遍有用的是数系的运算律(“数系通性”);解代数方程;多项式运算;待定系数法。几何中的重要内容是教导学生研习演绎法,要点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质与用法。平行四边形定理、相似三角形定理、勾股定理可以说是欧氏平面几何的三大支柱,它们也就是把空间结构全面代数化的理论基础。用向量把几何学全面代数化,讲向量身体、解析几何及其原理,这些就是几何课的重点。分析的重要内容除函数、极限、连续等分析学的基本概念之外,变化率是要紧的概念。分析中最基本的方法是逼近法。 
“反璞归真”就是着重于教学生以基础数学的本质,而不拘泥于抽象的形式。初等代数最基本的思想、最重要的本质就是那些非常简单的数的运算律,它们是整个代数学的根本所在。把它形式化,也就是多项式的运算和理论。传统的代数教学从多项式的形式理论开始,学生不解其义,感到枯燥。《实验教材》反璞归真,先讲代数的基本原理就是灵活运用运算律,首先用以解决一次方程的实际问题,学生自然地觉得应该有一个多项式理论,然后再讲多项式,这样学生易于理解多项式的来源与本质。“这就是反璞归真”的一个实例。 
基本的数学思想与数学方法是基础数学的本质,突出其教学是把知识教学与能力训练统一起来的重要一环。把知识看作一个过程,弄清它的来龙去脉,掌握思想脉络,学生的数学才能才发展起来,要学生“会学”数学,就必须让学生掌握基本的数学思想和方法,会“数学地”提出问题,思考问题、解决问题。 
《实验教材》一开始就突出了用符号(字母)表示数的基本思想和方法。 
集合的思考方法,在几何和代数中都十分重视。经常训练学生从考虑具体的数学对象到考虑对象的集合,进而考虑分类等问题。 
函数的思考方法,考虑对应,考虑运动的变化、相依关系,由研究状态过渡到研究过程。分解和组合的方法。对数学问题的分析与综合、转化、推广与限定(一般化与特殊化)、类比、递推、归纳等基本的数学思想与方法都分别得到强调。 
“顺理成间”就是要从历史发展程序和认识规律出发,“顺理成间”地设计数学课程。数学是一种演绎体系,有时甚至本末倒置。这正是数学本身的要求和学生心理发展的要求相矛盾的所在。正确处理这个矛盾,使这两方面的要求和谐统一,课程设计就既不能违背逻辑次序。更要符合认识程序。因此,要参照数学发展历史,用数学概念的逐步进化演变过程作为明镜,用基础数学的层次与脉络作为依据来设计数学课程。数学的历史发展经历过若干重要转折。学生的认识过程和数学的历史发展过程(人类认识数学的过程)有一致性。数学教材的设计要着力于采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折,使学生的数学学习顺理成章地由一个高度发展到另一个新的高度。在基础数学范围内,主要经历过五个大的转折。 
由算术到代数是一个重大的转折。实现这个转折,重要的是要向学生讲清代数的基本精神是灵活运用运算律谋求问题的统一解法。由实验几何到论证几何是第二个重大转折。要对空间的基本概念与基本性质加以系统的观察、分析与实验,建立“空间通性”的一个明确体系,达到“探源、奠基与启蒙”三个目的,然后引进集合术语并以集合作工具,讲清一些基本逻辑关系、推理格式,再转入欧几里得推理几何。第三个转折是从定性几何到定量几何,即从综合几何到解析几何。要对几何问题谋求统一解法,出路在代数化,首先要把一个基本几何量代数化,就得到向量的概念,然后运用欧氏空间特有的平移、相似与勾股定理等基本性质引起向量的加法、倍积与内积这三种向量运算。这样就把窨的结构转化为向量和向量运算。这样就把空间的结构转化为向量和向量运算这种代数体系,因而空间的基本性质也就转化成向量运算的运算律。换句话说,向量的运算律也就是代数化的几何公理。这样就实现定性几何到定量几何的转折。向量是这个转折的枢纽。第四个转折是从常量数学到变量数学,这在概念和方法论方面都有相当大幅度的飞跃,需要早作准备。初中二年级已引入三角函数的初步概念,初三正式研究各种函数,到高一、高二的代数与解析几何中,就逐步讲座到连续性、实数完备性、切线等概念。数列、逼近的思想也早有渗透,到高三进一步突出逼近法研究极限、连续、微分、积分等变量数学问题。第五个转折是由确定性数学到随机性数学。在代数之后引起概率论初步。 
上述数学课程设计,既遵循历史发展的规律,又突出了几个转折关头,缩短了认识过程。有利于学生掌握数学思想发展的脉络,提高数学教学的思想性。 
“深入浅出”就是要学到应有的深度,才能浅出。许多事物和现象表面上各不相连,但是把它们提高到适当的高度来看,这些事物和现象就会有一种统一的理论串连其间。因此,如果没有掌握到这种枢纽性的理论,就无法回头用理论来统一一系列繁复多样的实际。所以数学课程的设计要用学生易于接受的形式引导学生去掌握枢纽性的理论。“占领制高点”,才能居高临下,一目了然。把数学课程搞得浅薄,砍掉具有枢纽地位的基础理论,把数学课程变成一本支离破碎的流水帐,一来难懂,二来无用,所以深入浅出的要点在于教好那些具有枢纽地位的基础理论。 
《实验教材》的实验证明,16监察院指导思想恰当地处理了理论和实际的关系,数学科学与数学学科的关系,数学知识教学与数学能力培养的关系,数学课程完整性与发展性的关系等,充分满足了三方面的要求,五个转折都顺利地实现了。《实验教材》内容多、要求高、负担重,有待进一步精简。 
《实验教材》的实验研究取得了效果和经验。但是数学课程发展的规律、指导发展的理论尚待探索和逐步建立,尚需使用历史分析的方法,比较研究和实验研究的多种方法,研究古、今、中、外的数学课程,从中探索出规律,建立数学课程发展的系统理论,以指导今后的数学课程改革和设计的实践。 
再谈面向新世纪的数学课程 
丁尔升(北京师范大学数学系 100875) 
义务教育的新数学课程和教材从去年下半年开始已在全国普遍实施和使用。义务教育的数学课程有一个基本精神,就是要从应试教育转到素质教育,这个转变涉及到教育思想、教育目标、教学目的、教学内容、教学方法和手段等各个方面。要实现这些转变,绝不是编辑出版几套新材料就完事的,何况新教材也只是一个阶段性成果,随着对新世纪挑战的认识的提高还会有新的改革。所以实施义务教育的新数学课程是一个长期、艰巨的改革过程。今天我不打算全面阐述这个过程,也是我力所不及的,我只想提供一点“参考消息”,看看国外一些人是如何议论迎接新世纪挑战问题的。我想综合一些研究成果或有倾向性的预测,描述一下面向新世纪的数学课程。 
1、条件的重大变化 
我们从分析影响数学课程变革的条件的重大变化开始。 
首先,数学的社会需要有很大改变。随着经济适应信息时代的需要,每个部门的工作人员——从饭店服务员到秘书,从汽车修理工到旅游代理人——都必须懂得计算机控制过程。现在大多数职业都要求从业人员具有分析能力而不单纯是机械的操作技能,所以绝大多数学生需要更多的数学能力作为普通职业的准备。同样,在每天的报纸和公众的政策讨论中都广泛使用图表、统计数据。为了更有效地参加社会生活不能不要求普通公民具有更高标准的数量意识,市场经济需要人们掌握更多有用的数学。随着承包制、股份制、租凭制的进一步推行,市场经济的逐步完善,无论是城市还是广大农村,生产者也将成为经营者,因而,成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用,买与卖、存款与保险、股票与俩券……几乎每天都会碰到。相应地,与这些经济活动相关的数学,如比和比例、利息与利率、统计与概率、运筹与优化以及系统分析一决策……就应成为中小学 要学的数学了。 
科学技术的迅速发展,特别是信息时代的到来,要求人们具有更高的数学修养,现代高技术越来越表现为一种数学技术。高科技的发展、应用,把现代数学以技术化的方式迅速辐射到人们日常生活的各个领域,智能机器人、办公自动化以及计算机储蓄、售货和个人胸等电子产业将高速发展,到下个世纪,理个普通老百姓要是“计算机盲”,将会像现在的文盲一样不适应现代生活。 
生活中需要越来越多的数学语言。各种图统计图表,数学符号向各行各业普通老百姓传递着大量信息。 
其次,数学及其应用有很大变化。最近二三十年数学的性质及其应用的途径发生了巨大变化。不仅发现了许多新的数学领域而且应用数学的问题类型以空前的速度增长了。当然,最显著的是计算机的发展和计算机应用的爆炸性的增长。这些计算机应用的绝大多数都要求发展新的数学,在计算机出现以前不可能在这些领域应用的数学,虽不显著,但同样重要的是在用广泛应用性的统一概念联系起来的几个主要数学分支中产生的大量思想财富。学生必须学习在这些应用中使用的数学以便掌握数学的威力去解决实际问题。 
数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有变化。数学是一门科学。观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分和任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研,以及度量和分类是数学家常用的部分技巧,学校应当教。实验室作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜 而且是必需的。在数学实验室里计算器和计算机是必需的工具。实际数据(科学实、人口统计、民意测验等的数据),观察和度量的对象(骰子、方块、球)是作图工具(尺子、细绳、量角器、胶泥、坐标纸)都是必需的。 像生物是有机体的科学,物理是物和能的科学一样,数学是模式的科学。这种表述至少可以回朔到笛卡儿,他把数学称作“序的科学”,后来物理学家斯梯文·温伯格(Steven WEinberg)用它去解释数学预测自然的神奇能力时作了改进。类似地把数学看成“模式与关系”的科学,形成了在《美国大众科学》(Science for All Americans)中表述数学的基础。通过它们的所有表现形式——数、数据、形、序、甚至模式本身来划分、解释和描述模式,数学确信科学家遇到的任何模式都可以在某处解释为数学实践的组成部分。 
模式在数学的每个方面都是明显的。学生学到算术如何依靠数的规则性;他们能够看到乘法表中的次序,而且惊奇素数模式中的无次序。多面体的几何展示了规则性,在自然和建筑中它经常出现。甚至统计这门研究是无序的学科,也依靠把模式展示成估价不确定性的码尺。 数学也是一种交流形式,它是自然语言的补充,所以数学不仅是一门科学,而且数学也是一种语言。不仅是自然所说的语言,而且也是商业、贸易的合适语言。 
数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础。由于计算机和世界范围的数字式交流的支持,商业和工业都越业越依靠不仅是传统的而且是现代数学的分析方法。数学可以作商业和科学的语言准确地是因为数学是描述模式的语言。用它的符号和句法、词汇和成语,数学语言是交流关系和模式的通用工具。它是一种每个人都必须学习使用的语言。 如果说数学是模式的科学和语言,那么要学懂数学就是要去研究和表示模式之间的关系:在复杂、模糊的环境中能够辨明模式;理解并变换模式间的关系;对模式分类、编码、描述;用模式的语言读写;并使用模式的知识运达到各种实际目的。要掌握模式的多样性,数学课程需要介绍和发展多种不同类型的数学模式。数学要研究的模式不限于算术法则,所以中学数学里研究的模式必须打破人为的限制。 一个搞数学的人,他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想。数学是一种创造性的、活跃的过程和被动地掌握概念和程序很不相同。事实、公式和信息有多价值只有看它在多大程度上支持有效的数学活动。虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知识只是 是教学应当坚定地强调,学数学是要追求去理解、去交流,而不仅仅是去计算,通过展开模式的基本原理,数学可以使脑子成为处理现实世界问题的有效工具。从这些观点能够为下一个世纪导出有效的、能动的中学数学课程。 
第三,新技术的作用有很大变化。计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学是重要的,而且也影响到如何做数学,现在袖珍计算器上能够做几乎所有幼儿园到两年制大学教的数学技术,仅只这一事实(巴斯卡的梦在我们这个时代实现了)就必定会大大影响数学课程。虽然学科的最前沿的发展一般不会对早期的教育产生主要影响,但是由计算机和计算器带来的数学中的变化如此深刻,需要重新调整中学数学中各课题的处理方法和它们之间的平衡。 
比如对发展常规计算技能的重视程度应降低,这就会有更多的时间来发展对数学过程的理解和推理能力;易于开发一种课程,可能加强近似计算和估算。一个学生能准确作2507×4131的乘法和能够说出结果大约是一千万,哪个更重要些呢?常常一个近似的答案不仅已经足够,而且比精确答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以给精确结果提供快速检验;可以开发强调各种数学方法的更广的课程. 
计算器和计算机不仅改变了什么数学重要,而且也改变了数学应当如何教.它们把困难的变得容易,使不可行的变得可行.例如,计算机能够显示和操作像三维的形状复杂的数学对象。使用计算机,学生能够解决与他们日常生活有关的现实问题和能够激发他们对数学产生持久的兴趣。计算机能把教师解放出来去完成只有教师才能完成的任务。比如和学生一起去探索、猜想。计算机提供了一种动态的、画图的手段;它还提供了许多有效的途径去表达数学思想。 新技术使数学更加现实,计算机出现之前,难以完成现实问题所要求的计算,有了计算机计算不再是障碍,只要问题能被学生掌握,就能解出。实验中得到的现实数据可以得到分析处理。表达重要物理现象的方程可以解出。许多精深的概念用计算机比用其他任何更能做得易理解。 
第四,对学生学习的理解有变化。学习不是一种被动地吸取知识,并通过反复练习,强化储存知识的过程,而是学生原有知识处理每项新的任务,同化新知识,并构建他们自己的意义,再者,一些思想、概念在记忆里不是孤立的,而是有组织的并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、构造性的观点必须在教数学的途径中反映出来。 2、通向未来的转变 
美国数学科学家教育委员会、数学科学家委员会以及2000年数学科学委员会提出的《人人有份》(Everybody Counts)这份报告中预示这次数学课程改革要实现七个重大的转变写道:“为了迎接时代的挑战,数学教育正要处理几个困难的转变,这些转变将支配本世纪剩下这段时间的改革过程”。这七个转变可以概括数学教育,特别是数学课程改革的趋向和前景。这七个转变是: 
第一,中学数学的目标应从双重使命(为多数人的数学很少,为少数人的数学很多)转变到单一目标:为所有学生提供重要的、共同的核心数学。由于工业社会、信息社会对劳动力的需求是要他们有更高文化修养,所以要给所有学生提供更多的数学教育,所要要发展适合于每个年级所有学生的核心数学课程,即要面向大多数,甚至是所有学生,要大多数公民甚至是全体公民都学好数学;对能力强的学生还要用数学去激励他们;在教学中用方法和进度而不是用课程目标来区分;选择普遍有趣的课题和有效的教学方法。 
第二,数学教学从“传授知识”的传统模式转变到“以激励学习为特征的,以学生为中心”的实践模式,由学生被动听讲的课堂变成学生积极主动参与的像下面这样的学习环境:鼓励学生去探索;帮助学生表达自己的数学思想;让学生看到许多数学问题不只一个正确答案;提供证据,证明数学是生动的,激动人心的;使学生体验到深入理解和严格推理的重要性;使所有学生都建立起能够学好数学的自信心。 
第三,公众对数学的态度从冷漠和敌意转到承认数学在今日社会中的重要性。通过现代事件传送的信息,使公众认识:期望高的地方,数学要得也多;随着科学技术作用的增大,数学的重要性也增加;对于有文化的公民发挥作用来说;数学文化同文化一样重要。 
第四,数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展基础宽广的数学能力,学生的数学能力应该要求达到能够辨明关系、逻辑推理,并能运用各种数学方法去解决广泛的、多种多样的非常规问题,要求今天的学生必须能够:进行心算和有效的估算;知道在某一特定条件下适于使用哪种数学运算;能够正确、自信和恰当地使用计算器;会估计数量级以确认心算或计算器计算的结果:会使用表、图、电子数据表 (Spreadsheet)和统计技术去组织、解释和表示数值信息;能判断别提供的数据的可靠性;会使用计算机软件去完成数学任务;能从模糊的实际课题中去形成一些特别的问题;会选择有效解决问题的策略。 
第五,数学教学从强调为学习进一步的课程的需要转到更多地强调学生今天和将来所需要的课题,大多数的数学内容都要在它的运用的情境中来呈现,它的逻辑体系要随年级的提高慢慢地建立起来。值得更加强调的课题和领域,作为例子,可以举出:概率,它便于不确定性地说理和对风险的估价;探测数据分析和统计,它便于关于数据的说理;建模,它可以增进对复杂情形的系统的、结构性的理解;运筹学,它便于复杂任务的计划和行为目标的达成;离散数学,它便于对大多数计算机应用的理解。这些课题和领域将会使观察和实验在未来数学大纲中占重要地位,将使数学和其他科目,特别是和自然科学科目更加靠近。 
第六,数学教学从原始的纸笔计算转到使用计算器和计算机,各级数学教师正使他们的教学方法和科目适应于未来的课程。计算器和计算机使得新教学模式成为可行的同时给学习环境注入一种特别的惊异的感觉,它将伴随数学能力的健康发展。 
由于技术发展计算器和计算机的使用方法也要持续地迅速改变。应当使用新技术不是因为它有魅力,而是因通过扩充每个学生的数学能力它通顺提高数学学习,计算器和计算机不是去代替用功和严密思维,而是用作争取好成绩的武器。 
第七,公众对数学的理解从“随心所欲的法则的不变教条”转到“关于模式的严格而生动的科学”。数学是一门生动活泼的科目,它寻求蕴藏于周围世界和我们头脑中的模式。这个转变要求课程内容和教学方式两个方面的变革:寻求解法,不仅是记住步骤;探索模式,不仅是学习公式;形成猜想,不仅是做练习,当教学开始反映这些重点的时候,学生将有机会像这样去学习数学:作为探索性的、动态的、进展的科目,而不是作为僵死的、绝对的、封闭的一组被记住的定律去学习,学生将被鼓励去把数学看作一门科学,而不是看作教规,并且认识到:数学是关于模式的科学而不仅是关于数的科学。 
3、建立新数学课程的原则 
前面已经谈到促使数学课程改革的条件变化和改革的方向。把数学看成模式的科学和语言的观点为新数学课程奠定了基础,改革仍可采取多种形式,但它应该遵循一些基本原则。美国数学科学教育委员会在《重建中小学数学》(Reshaping School Mathematics)一书中提出了六条原则: 
原则1:数学教育必须集中于发展数学能力 
数学能力使学生理解数学概念和方法并且在各种情况下辨明数学关系。它帮助学生逻辑地推理,解决各种问题,常规的和非常规的问题。数学能力要求学生能够用数学方法阅读文献,能够用口头和书面的形式表达数量的和逻辑的分析。 
数学能力强的学生能够在他的职业和日常生活中使用数学。他们将是数学思想的明智使用者,接受或者拒绝表面上有数学论证的主张,他们将会数学地看事情,知道什么时候数学的分析有助于解释清问题。他们将有充分的数学知识去择业和进一步学习要求精通数学的学科。 
数学能力不包括交流数学的才能。除了知道如何解决问题以外,学生还必须会阅读并理解数学课本并且会口头和书面地把数学研究和问题解决的结果向别人表达。所以,数学课程必须提供适当的情境,让学生能够学习读数学、写数学、说数学。 
原则2:数学课程从始至终都应当使用计算器和计算机 
学生只有把数学看成配称现代的科目才能获得数学能力。新课程教材必须设计得能从 科学技术的进一步发展预期不断改革。在数学中,不积极参与数学的交际活动过程(猜想与争论、探索和推理、问题提出和解决、计算和检验),一般不可能达到理解。计算器功能像“快笔”,所以能够使数学过程比用纸笔更有用、更有效率。同样,计算机能使学生算得快、画得快,快速地模似过程,使用其他任何手段是难以作到的。所以使用计算器和计算机的教学比传统教学更有潜力,更能使学生获得深刻的理解。 
原则3:恰当的应用应当是课程有的机组成部分 
学生需要在自然地产生数学思想 的情境——从简单的计算和度量到商业和科学中的应用——中体验数学思想。计算器和计算机使得在课程中能够引进实际应用。 
一项应用是否恰当重要的标准是看它是否能引起学生兴趣。是否是激发他们的数学思维,有吸引力的应用应当取自儿童生活的世界,取自社会事件,或课程的其他部分,不仅取自自然科学,也要取自商业、地理、艺术和其他科目。 
教学的基本目的应当是让学生学会在反映实际应用的情境中使用数学工具。数学思想总是应当在有意义的数学活动的情境中呈现和发展。 
原则4:课程的每一部分都应当由其本身的价值来证明其必要性。 
数学提供了如此丰富、大量有趣、有用的思想,以至难以挑选。然而,课程中不能仅仅因为现在已经有了的概念或技能就应当保留。虽然在现在的课程中有许多是有效的,但是我们不能再把“课程中已经有了”作为这个课题应当保留的主要理由。我们需要“从零开始”,没有一个思想不作仔细考查。 
修订课程不应当只是增加更多的课题,而是确立重点,有些重点应当取消,有消增加,有些保留。甚至对于确实要保留的重要重点,现代应用或现代技术可以作十分不同的处理。常常一种新颖的处理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。 原则5:课程的选材应当和中小学数学的现代化标准相一致。 
新的“中小学数学课程和评价标准(NCTM,1989)提供了一类课程标准的范例,应当用来作评定中小学数学课题的价值的标准。课程的选材应当和这些课程标准相一致,改革的步子如此巨大,甚至现在的课程指南未适应明天的需要。课程改革要求持续地努力,植限于学校的现实,目标坚定地指向未来。 
原则6:各级的数学教学都应当促进学生积极参与 
恰当使用新技术要求有新的数学教学方法,使学生成为更积极的学习者。除了使用新技术之外,关于学生如何学习的研究提出了更多教数学的有效 方法。数学教学必须适应这两方面的发展,大多数的数学教学不再适于传统的老师教学生被动地听的模式。 
没有单独的一种教学方法。也没有单独的一类学习经验能够发展各种数学能力。需要的是各种活动,包括学生之间的讨论,实习作业,重要技术的实践。问题解决,日常的应用,调研工作,以及教师讲解。 
教师应当是催化剂,他帮助学生学会自己思考,他们不应当只扮演教育者,其作用只是告诉学生“正确方法”。此外,课堂活动应当给学生提供充分的机会用书面和口头的数学语言彼此交流。 
一个有用的比喻是,教师是一个明智的辅导员,不同的时间,要求教师充当以下不同角色: 
模特儿角色,他不仅演示正确途径,而且也演示错误的开端和高级思维技能,引导去解决问题; 

顾问,他帮助个人、小组、全班决定他们的工作是否保持了主题,进展得是否合理; 

仲裁人,他提出总是让学生考虑,但把决定留给全班去做; 

对话者,他支持学生在班上发表意见,鼓励他们靠自己的活动去做出反应,靠自己去探索数学; 

询问者,他鞭策学生弄清他们做什么才是合理的、有目的的,使学生确信他们能够捍卫自己的结论。(未完,待续) 


4、新数学课程目的 
数学教学有几个非常不同的目的,它们是数学在社会中的作用的反映。它们是: 
实用目的:帮助个人解决日常生活问题。 
公民目的:使公民能够明智地参加公民事务。 
职业目的:为学生找工作、就业、或学业备作准备。 
文化目的:传递人类文化的主要因素。 
为达到这些目的所必需的数学知识在二十世纪已有了巨大变化。以后还将比以前变得更快。前面在讨论条件的重要变化时已涉及,这里不再赘述。 
这里要谈的目的是前面的一般原则的具体化。它们可以为新的数学课程提供一个构造性的框架。 
第一,小学数学的基本目的是发展数的意识(Number Sense) 
学生用数值住处去有效地说理的能力要求有以下的体验: 
表达——用数表达数量和数量关系的能力。 

操作——熟练一位新的算术;决定适当的算术程序的能力;熟练估算;选择适当方法进行复杂计算的经验。 

解释——从数据中抽取结论的能力和为了准确性和合理性去检验数据和结论的能力。 


小学教学应当使用具体材料、计算机软件和计算器。应当强调心算,特别是估算多位数计算和结果,同时应当大大削减教多位数、分数和小数的传统笔算方法的时间。用这种观点处理算术的小学课程将同今天教的普通算术显著不同。今天的小学数学的中心任务是发展整数、分数、小数的各种运算的手工技巧。要根本改革教学,不再强调这些课题,而增加说理、发现模式、辨明正确程序以及抽取结论的机会,这样安排着重点的小学数学课程会使数量推理的水准获得惊人的进步。 第二,小学数学应当为数学打好一切方面的基础 
如果学生为就业和日常生活作更好的数学准备,小学数学就必须包括比算术更多的科目: 
几何,包含二维、三维对象的性质,对称和全等,几何图形的作图和几何图形的变换; 

度量,包括度量单位,报时,量温,算钱; 

数据分析,包括搜集、整理、表示和解释数据;制作统计图表;以及用数据去作分析和预测; 
概率,介绍简单实验和数据搜集; 

离散数学,包括基础组合思想和用图作问题模型。 


每个这样的课题都能够起到使小学数学课程更有趣、更适合学生的显著作用。几何提供了看物理世界的明显窗户,现在通过计算机画图更提高了明显程度,在数学里和在生活中一样,一图值千言,度量即使很年轻的儿童也能提供有意义的应用。并加强数的概念。数据分析提供了有趣、合适的问题的源泉,概率也如此,它还能和熟悉的游戏联系。代数的一些概念能把学生引向简单的抽象,而离散数学提供一些课题,使数学能与许多领域联系,特别是和计算机联系。 另外,教学应当是综合的,使得不同领域间的关系得以领悟和加强。比如,教师应当加强算术在几何和概率中的应用,以及几何概念在数据表示中的使用。 
第三,在一切教学和评估中都应当使用计算器 
计算器在学校数学中从幼 儿园开始就应当作为设备使用。儿童用来发现数的关系和解决问题。把大多数纸笔计算训练换成用计算器的教学本身不是万应药。不动脑子的训练用纸笔和用计算器是一样的,但是用计算器可以让学生进行加强发现和探索的活动。用纸笔计算是作不到的。 
学会什么时候如何使用加减乘除对学生总是重要的。但是标准算法的反复训练并不显然会导致理解。数学教师必须利用计算器教学的好处作为工具去帮助学生获得理解。 
第四,学生应当使用现实事物和现实数据学习数学 
观察对数学和对科学一样是基本的。儿童学习数数和算术时需要摆弄现实的东西。学习数学的儿童要发展长度、面积、体积和形状的正确直觉必须画、切、折、注、量。 
各年龄段的学生都必须经常探索学校数学中学到的比较原始的模式间和紊乱的现实世界实际资料数据间 的关系。现实数据比编造的更可信,搜集数据的行为,不管是测量的、数出的、民意测验的、实验的,不是计算机模拟的数据,可以丰富儿童的学习活动。而且度量出的数据和计算出的数据之间,即实验的和理论的数据之间的不可避免的交流会获得数学的完整科学。 第五,中学数学应当强调实践的数学能力 
如果说教学是要给学生数学能力,那么在各年级都必须始终强调问题解决。学生需要领会比教材本身更多的数学。事实上,推理训练能使他们接触并解决日益增加难度和复杂程度的问题。在整个课程中重要的是强调问题而不仅是练习。 
扩充小学数学课程有个重要涵义是进入中学数学。中学各年级不应当看成巩固的时间或者暂停歇息的时间 ,而应看成儿童的数学发展的基本部分。中心应当是日常生活的数学,一个富有激发性的主题,它会自然地导出许多重要的数学课题(如数据分析、几何度量、利率、与电子数据表分析(Spreadsheet analysis)。理解小学数学的概念对学习中学数学是根本的;然而,手算的熟练程度不应当再作为评定学生为进一步学习的准备程度的标准。 
第六,学校数学与其他科目应当相互加强 
数学发展的动因许多与科学有关,在学校里数学和它的任何应用之间不有可贵的纯朴的联系。数学的应用已经远远超越了自然科学,扩展到事业、社会科学、地理、和各种职业及商贸领域。儿童能够在探索的情境中学到很多数学。高中学生需要在自己的数学课上体验应用。同样在其他课上使用数学。 
因为数学是科学的语言和模式的科学,数学和科学之间的特殊联系远比理论和应用之间的联系多。数学探究的方法和科学方法都集中注意探索、调研、猜想、证明、推理。科学与数学之间的学校这条纽带应当特别帮助加强学生对这两个领域的掌握。 
第七,中学数学课程的主要目的应当是发展符号意识(Symbol Sense) 
小学过渡到中学特征是从具体对象转到抽象符号。发展顺畅使用符号和其他抽象名称(可能是几何的、代数的、或算法的)的能力必须是中学数学的中心目的,学生有效使用符号去推理的能力要求有以下的体验: 
表达——用符号形式表达数学问题并在关系、式子、和方程中使用这些符号表达式的能力; 

操作——确定适当的符号程序和选择适当的方法解决用符号形式表达的问题的能力; 

解释——用符号系统推理得出结论并检验这些结果的准确性和合理性的能力。 


当然计算器和计算机在发展符号意识中起着重要作用。因为强有力的计算器将恰像影响算术如何做一样深刻影响符号操作。在中学目前强调操作技能需要改成大大强调理解和问题解决。新技术对中学课程的影响无疑将是发展高经软件使学生能够去发现模式而不仅仅是符号操作。 
第八,中学数学应当引进整套数学科学 
中学数学必须为就业、升学和作公民给学生作好准备,要达到这些目标,课程性质包括充分反映数学科学威力的广泛的课题: 
代数,包括一般算法和各类函数(多项式函数,三角函数,指数函数,对数函数)。 

几何,包括变换几何、向量几何、立体几何和解析几何。 

数据分析,包括不确定性的度量、概率和抽样分布、以及推理论证。 

离散数学,包括组合论、图论、递推关系、递归——都要强调算法思想。 

最优化,包括数学建模,“如果……会怎样”(What if)分析、系统思想和网络流程图(Network flows)。 


强调计算机条件下的一般算法会使代数和三角更有趣。尽管几何作为一个科目有使人厌烦的坏名声,但是由于它的与物理世界的联系,它总是一门有很大兴趣的科目。数据分析与离散数学和最优化一样能够很容易同有趣的、有意义的应用联系。 
数学教学中重要的是阐明这门科目的统一性和完整性。例如,分形几何(Fractal geometry)高中学生是十分能够接受的并且包含代数、几何和离散数学的一些方面。还提供了计算机的诱人使用。数据分析直接导致代数和几何方法,而代数和几何本身又结合成解析几何。这些把一个课题和其他课题联系起来的纽带常常和这些课题本身一样重要。 
第九,学生应当领悟,在数学中推理得真理的标准 
学会理解和建立逻辑的、首尾一贯的数学谁是学校数学的主要目的,然而,欧几里得几何不是教学生推理的唯一载体,代数和离散数学都为谁提供了很好的机会;甚至流程图和电子数据表也能用来说明数学论证的逻辑性质。 
比熟练形式证明更加重要的是从各种基本例子中理解数学真理是逻辑的不单纯是经验的。少年儿童能够从算术的基本经验中发展逻辑意识。一旦理解了符号,许多基本思想就可以证明,常常可以用各种方法来证明。代数结果的几何证明(例如,毕达哥拉斯公式用重组正方形的方法展示)常常特别使学生信服。 
第十,所有学生在校期间每年都应当学习数学 
数学应当在所有学生而不仅是升学的教育中发挥重要作用。核心的中学数学对所有学生基本上应当是一样的,尽管表述的深度上可以不同。核心以外的扩充自然是不同的,要估计到学生的不同志向和可能的进一步教育。学生能够学会去应用数学。他们的确常常能够在与数学有联系的学科(如自然科学、地理、商业)中学到新的数学。数学和语文一样是一门应当“跨课程”来教的科目。 
5、新数学课程设计中的几个问题 第一,关于教学内容 
60年代 “新数”运动后,中学数学教学内容包含了代数、几何、分析加上一点在力学上的应用、统计和概率。1986年在讨论“九十年代学校数学”的ICMI Kuwoait会上把代数看作仍然“在中学课程中占中心的重要地位”,“ 然而,重要的事情浊让学生掌握操作技能(如多项式运算)而是教学生把代数看作解决问题的自然工具”。有的国家取消了欧氏几何,感到后悔,因为“大量从事科技工作的人需要掌握非常严格的逻辑性或数学性的陈述”。没有取消的仍然坚持,因为几何有利于激发学生的学习动机,为以后的学习和工作作准备。Kuwoait 会建议的课程内容,改革以微积分占优势的状况,引进与计算机科学有关联的离散数学的概念,此外,还包括了那些由于有了计算机而可能搬上课堂的内容,如数据分析,这些都是计算机发展带来的影响。这里再补充三点:一是算法得到重新强调,并且要比较解决同一问题的不同算法的效率;二是符号操作;三是离散数学,对于程序设计的价值的看法有分歧,一方面看到,在填写程序中许多是纯技术性的工作;另一方面,有一些重要的研究表明,在程序设计中的认知活动可以起到概念化的辅助作用,这个问题需要通过实验研究来解决。 
教学内容中的另一个问题是“为大众的数学”的研究。60年代的“新数”主要是为了加强“中小学数学”与“高等数学”之间的联系;现在在大力研究中把中小学数学同“民族数学”联系起来,搞面向大众的“为大众的数学”的运动。这个运动从1984年到现在已经十年了,要回答的一个主要问题是“数学是否应该保持在为大众的中小学课程中的核心地位?”可能有四种选择:一是否定回答,对每个人不能都教“纯数学”;二是肯定回答,但必须设计好;三是肯定回答,但未必所有人都学懂;四也是肯定回答,但要设计区分的课程,对不同水平的学生区别对待。前面讲的七个转变中认为目标不能降低,可以通过教法和进度来区别。 第二,关于课程的结构 
课程改革不仅是内容问题,还有课程的结构问题,即要回答“如何构建课程才能不仅易学,而且符合教学目标?”只学“结果”呢,不是要学“过程?”现在强调学习“知识何来”,也就是学“过程”。数学课程应该以数学过程为基础,而不是像现在这样以学科内容为基础来重新编制。数学是一组过程。学校的任务是帮助学生去“数学化”,那么,不仅是确定哪些数学课题对于中学生是必不可少的,而且重要的任务是选择哪些过程可能会更好地为提高公民素质服务,以及什么学校实践可能帮助学生学习这些过程。 
在一个计算机化的社会里,这些过程应包括:比较、分类、排序、抽象、符号化、一般化、…等等,所有这些都可以归入“数学化”这个术语之中,如何才能发展数学化的功能呢?“过程”能够作为数学课程建构的实际可能的基础吗?等等仍然是研究的课题。 
第三,重视数学的应用 
近年来,对于“应用”,对于使数学教学“贴近”实际,对于“数学模型”的教学,已经有许多谈论,事实上,数学教学历史上总是具有很强的职业的成份;只能随着中学和大学的学院化,数学和现实的联系才被忽视,但是教“应用”和使用“现实生活”例子的问题仍有待研究。“应用”在数学教学中可以有许多解释,有些人为的非现实生活的例子,也可能有重要的教育价值,也可能养成学生应用数学的技能,不能一概否定,还有一类传统的例子是过份“现实”的,是直接从职业中拿出来的,如薄记、税收、联系特殊地方工业的数学,如“三机一泵”这样的现实例子,这就有一个“谁的现实”的问题。这些例子只是社会的一些特殊需要,不足取。…就算排除了这类实例,还会有多种形式体现“应用”。比如,“守门员如何站位才能缩小对手的射角?”、“攻球员应当把球带到离球门多远处,他的射球位置能取得最大射角?”这些问题把数学与实际情境联系在一起,对有些学生有吸引力,但并不是真用数学解决问题,没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置,数学的应用主要不在于这样的“应用”。更重要的是,这种“联系”不可能总是结合学生“实际的”,正如Carson说的,“现实是主体和时间的函数,对我是现实的,对别人未必是现实的;在过去是现实的,现在不一定再是现实的了。”可见要使课程有“应用”性是既复杂、又长期的问题。 
前面说的都是用来为数学教学服务的“现实”例子,当数学用来为现实服务时,情况就完全不同了,它是完全不同的一类例子,它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题,这种问题不仅有社会意义,而且不局限于数学一科,不要用到学生多方面的知识。 加强实际应用,是教育传统中长期持续的工作,1918年Kilpatrick讲的“在社会环境中有目的的活动”运用“设计”、“兴趣中心”来激发学习动机,即所谓“设计教学”法,这是老例子,但也有一些新例子。 
现在有一种愿望:在中小学引进跨学科的,以社会为基础的设计工作,在这种设计工作中,学生会看到数学如何才能够应用到真正的“现实生活”问题上去,并且可望获得进一步学习的动力,会自然地产生建立“数学模型”的机会,实际上关于数学建模的学习包括了各种水平的活动。现在有必要研究许多模型,明确“数学建模”的确切意图。2000年的一个重大挑战不仅是提供在学校能够学的应用的实例,而且是更深入地研究各种类型应用的教育目的和正确性,所以学生如何运用数学必定是九十年代一个主要目标。这里有三种可能的选择:第一,在数学课内的应用,这种应用可以直接引起动机,要求学生具有数学以外的知识;第二,数学应用于其他课内;第三,数学应用于跨学科的设计(项目)中,这项工作在未来的年代中是值得认真探讨的开发性的工作。 
第四,关于问题解决 
问题解决是数学教育改革的热门话题,范围也在日益扩大,日本已把问题解决纳入指导要领(教学大纲)。美国的课程标准。仍把问题解决作为“一切数学活动的组成部分,应当成为数学课程的核心”,整个数学课程要围绕问题解决展开。英国也是把问题解决作为一种教学模式、数学教学的指导思想来对待的。而对文化压力的增长和新技术的挑战更加显得问题解决的重要。认为要通过教育中的更大的问题解决的方法去开发学生的智力。来回答迅猛的技术革命的问题,这里的原则是:如果我们不能预测明天需要什么,那么最好的回答是用思想武器武装下一代去面对的新的挑战。当然不能低估实现这种措施的困难。和60年代的“新数”不同,“新数”至少有大学训练的教师是了解其内容的,而问题解决除了少数人外,对绝大多数人都是全新的。 荷兰在1981-1985年间为文科开发了一套新的16-19岁的数学课程,对数学作了现实主义的处理。现实世界的问题在把它们数学化之前,先直观地考察,进行数学化,变成数学问题加以解决。这和“新数”的结构主义的处理恰成鲜明对照。 
有些建议,通过数学建模把更多的问题解决因素引进高中数学: 
“我们确实要学生能够把他们的数学技能用到实践中去,而且只有通过活跃的问题解决他们才能做到这一点,问题可以是现实的或者纯数学的,统一它们的是,它们给学生以机会去: 应用他们的数学技能;小组活动;表现创造性、想像力、革新精神、批判性;激励进一步的数学学习。

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第 2 楼
* 发表于 2005/2/13 17:48:00
第 1 楼
* -*8 发表于 2005/1/12 7:28:00
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